设 $A$ 的三个互不相同的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$。由于 $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=0$，可设 ${\lambda }_1=0$，且 ${\lambda }_2,{\lambda }_3\ne 0$。

三个互不相同的特征值对应三个线性无关的特征向量，所以 $A$ 可相似对角化为 $\mathrm{diag}(0,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$。

相似变换不改变秩，而该对角矩阵恰有两个非零对角元，因此 $\mathrm{rank}(A)=2$。