2016 · 数学二 · 第 12 题 · 填空题

已知函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续，且

f (x) = (x + 1)^{2} + 2 \int_{0}^{x} f (t) d t

，则当

n \geq 2

时，

f^{(n)} (0) =

。

答案

$5 \cdot 2^{n - 1}$

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（1） $f$ 连续，故原方程右侧可导，从而 $f$ 可导，且 $f^{'} (x) = 2 (x + 1) + 2 f (x)$ 。此式右侧又可导，因此 $f^{'}$ 可导；如此反复可知 $f$ 任意阶可导。
（2）原方程代入 $x = 0$ 得 $f (0) = 1$ ，再由导数关系得 $f^{'} (0) = 2 + 2 f (0) = 4$ 。继续求导， $f^{''} (x) = 2 + 2 f^{'} (x)$ ，所以 $f^{''} (0) = 2 + 2 \cdot 4 = 10$ 。
（3）从第三阶起常数项消失，有 $f^{(n)} (x) = 2 f^{(n - 1)} (x)$ ， $n \geq 3$ 。于是

f^{(n)} (0) = 2^{n - 2} f^{''} (0) = 10 \cdot 2^{n - 2} = 5 \cdot 2^{n - 1}, n \geq 2.

递推不能提前从 $n = 2$ 使用，因为 $f^{''} = 2 + 2 f^{'}$ 还含有常数项。

由原方程得到初值问题 $f^{'} - 2 f = 2 x + 2$ ， $f (0) = 1$ 。设线性特解 $f_{p} = A x + B$ ，代入得 $- 2 A = 2$ ， $A - 2 B = 2$ ，所以 $A = - 1$ ， $B = - \frac{3}{2}$ 。加上齐次解，得 $f (x) = C e^{2 x} - x - \frac{3}{2}$ ；由 $f (0) = 1$ 知 $C = \frac{5}{2}$ 。
因此 $f (x) = (\frac{5}{2}) e^{2 x} - x - \frac{3}{2}$ ，当 $n \geq 2$ 时，线性部分的 $n$ 阶导数为零，故 $f^{(n)} (x) = 5 \cdot 2^{n - 1} e^{2 x}$ ，从而 $f^{(n)} (0) = 5 \cdot 2^{n - 1}$ 。