曲线定义域为 $x>0$，故 $a>0$。在切点 $(a,a^{-\frac{1}{2}})$ 处，斜率为 $y^{\prime }(a)=-\frac{1}{2a^{\frac{3}{2}}}$。

切线方程为 $y-a^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2a^{\frac{3}{2}}}(x-a)$，即 $y=\frac{3}{2\sqrt{a}}-\frac{x}{2a^{\frac{3}{2}}}$。

在第一问的切线方程中，令 $y=0$ 得横截距 $3a$；令 $x=0$ 得纵截距 $\frac{3}{2\sqrt{a}}$。二者均为正。

所围图形为直角三角形，其面积 $S=\frac{1}{2}\cdot 3a\cdot \frac{3}{2\sqrt{a}}=\frac{9}{4}\sqrt{a}$。

切点沿曲线趋于无穷远即 $a\to +\infty$。由第二问的面积公式 $S(a)=\frac{9}{4}\sqrt{a}$，其在 $a>0$ 上严格递增，且 $\underset{a\to +\infty }{\lim }S(a)=+\infty$。