1996 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

求微分方程

y^{''} + y^{'} = x^{2}

的通解。

答案

$y = C_{1} + C_{2} e^{- x} + \frac{x ^{3}}{3} - x^{2} + 2 x$

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齐次方程的特征方程为 $r^{2} + r = 0$ ，故齐次通解为 $C_{1} + C_{2} e^{- x}$ 。

令 $z = y^{'}$ ，取一组特解 $z_{p} = x^{2} - 2 x + 2$ ，它满足 $z_{p}^{'} + z_{p} = x^{2}$ 。积分得 $y_{p} = \frac{x ^{3}}{3} - x^{2} + 2 x$ 。

所以通解为 $y = C_{1} + C_{2} e^{- x} + \frac{x ^{3}}{3} - x^{2} + 2 x$ 。