2013 · 数学二 · 第 3 题 · 选择题

（1）先按积分区间分段。积分中单点的函数值不影响积分，因此

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \int_{0}^{x} sin t d t = 1 - cos x, \int_{0}^{π} sin t d t + \int_{π}^{x} 2 d t = 2 + 2 (x - π), 0 \leq x < π, π \leq x \leq 2 π .

（2）由两段表达式可知， $x \to π^{-} lim F (x) = F (π) = x \to π^{+} lim F (x) = 2$ ，所以 $F$ 在 $π$ 处连续，排除A、B。
（3）分别计算左右导数：

F_{-}^{'} (π) F_{+}^{'} (π) = x \to π^{-} lim \frac{1 - cos x - 2}{x - π} = x \to π^{-} lim sin x = 0, = x \to π^{+} lim \frac{2 + 2 ( x - π ) - 2}{x - π} = 2.

左右导数不相等，故 $F$ 在 $π$ 处不可导，选C。这里 $f$ 在 $π$ 处不连续，不能直接套用 $F^{'} (π) = f (π)$ 。

答案