令 $u={\mathrm{e}}^x$，则 $\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{u}$，原积分化为

$$\int \frac{\arcsin u}{u^2}\mathrm{d}u.$$

分部积分，取 $v=\arcsin u$、$\mathrm{d}w=u^{-2}\mathrm{d}u$，得

$$\int \frac{\arcsin u}{u^2}\mathrm{d}u=-\frac{\arcsin u}{u}+\int \frac{\mathrm{d}u}{u\sqrt{1-u^2}}.$$

在实数定义域 $0<u\le 1$ 上，

$$\int \frac{\mathrm{d}u}{u\sqrt{1-u^2}}=\ln \frac{u}{1+\sqrt{1-u^2}}+C.$$

代回 $u={\mathrm{e}}^x$，得到

$$-{\mathrm{e}}^{-x}\arcsin {\mathrm{e}}^x+\ln \frac{{\mathrm{e}}^x}{1+\sqrt{1-{\mathrm{e}}^{2x}}}+C.$$

实数定义域为 $x\le 0$，该表达式在 $x<0$ 上为原函数并可向端点 $x=0$ 连续延拓。