因 $e^{x+y}>0$，原不等式等价于 $k\ge F(x,y)$，其中 $F(x,y)=(x^2+y^2)e^{-(x+y)}$。令 $t=x+y\ge 0$，则

等号当且仅当 $xy=0$。由 ${\phi }^{\prime }(t)=t(2-t)e^{-t}$，知 $\phi$ 在 $[0,2]$ 上递增，在 $[2,+\infty )$ 上递减，故最大值为 $\phi (2)=\frac{4}{e^2}$。
取 $(x,y)=(2,0)$ 或 $(0,2)$，上述上界均能取到，所以 $\max F=\frac{4}{e^2}$。因此原不等式恒成立当且仅当 $k\ge \frac{4}{e^2}$；若 $k<\frac{4}{e^2}$，代入 $(2,0)$ 即不成立。