由 $a_n$ 单调减少且趋于零，知每个 $a_n\ge 0$。令 $t=x-1$，考察 $\sum a_n{t}^n$。
当 $t=1$，即 $x=2$ 时，级数为 $\sum a_n$，部分和正是题给无界的 $S_n$，故发散。当 $t=-1$，即 $x=0$ 时，级数为 $\sum (-1{)}^n{a}_n$，由 $a_n$ 单调趋于零及莱布尼茨判别法收敛。
由幂级数的基本性质，$t=-1$ 处收敛意味着收敛半径 $R\ge 1$，$t=1$ 处发散意味着 $R\le 1$，所以 $R=1$。因此 $|x-1|<1$，即 $0<x<2$ 内绝对收敛，外部发散；再加入已判断的左端点 $x=0$，排除右端点 $x=2$，收敛域为 $[0,2)$，选 C。