2005 · 数学三 · 第 23 题 · 解答题

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n > 2)

为来自总体

N (0, σ^{2})

的简单随机样本，其样本均值为

X

，记

Y_{i} = X_{i} - X (i = 1, 2, \dots, n)

。求：

答案

$D (Y_{i}) = \frac{n - 1}{n} σ^{2}$

$Cov (Y_{1}, Y_{n}) = - \frac{σ ^{2}}{n}$

$P {Y_{1} + Y_{n} \leq 0} = \frac{1}{2}$

将 $Y_{i}$ 写成独立样本的线性组合：

Y_{i} = (1 - \frac{1}{n}) X_{i} - \frac{1}{n} j \neq = i \sum X_{j} .

利用样本独立且 $D (X_{j}) = σ^{2}$ ，得

D (Y_{i}) = (1 - \frac{1}{n})^{2} σ^{2} + (n - 1) \frac{σ ^{2}}{n ^{2}} = \frac{n - 1}{n} σ^{2} .

由于 $X_{1}$ 与 $X_{n}$ 独立，且 $Cov (X_{1}, X) = Cov (X, X_{n}) = \frac{σ ^{2}}{n}$ 、 $D (X) = \frac{σ ^{2}}{n}$ ，有

Cov (Y_{1}, Y_{n}) = Cov (X_{1} - X, X_{n} - X) .

展开上式得到

Cov (Y_{1}, Y_{n}) = 0 - \frac{σ ^{2}}{n} - \frac{σ ^{2}}{n} + \frac{σ ^{2}}{n} = - \frac{σ ^{2}}{n} .

线性组合 $Y_{1} + Y_{n}$ 仍服从正态分布，且其均值为 0。由前两问，

D (Y_{1} + Y_{n}) = 2 \frac{n - 1}{n} σ^{2} + 2 (- \frac{σ ^{2}}{n}) = \frac{2 ( n - 2 )}{n} σ^{2} > 0,

其中使用了 $n > 2$ 及通常的 $σ^{2} > 0$ 。

因此 $Y_{1} + Y_{n}$ 是关于 0 对称的非退化正态变量，

P {Y_{1} + Y_{n} \leq 0} = \frac{1}{2} .

若允许 $σ = 0$ 的退化情形，第三问会变为 1；通常的正态总体约定 $σ^{2} > 0$ 。