（1）被积函数$\sqrt{1-e^t}$的实数定义域为$t\le 0$，故$f$定义在$(-\infty ,0]$上。对$x<0$，有$f^{\prime }(x)=\sqrt{1-e^x}>0$，所以$f$在其定义域上严格递增，反函数存在。
（2）$y=0$对应的原函数自变量由$f(x)=0$确定。因$f(-1)={\int }_{-1}^{-1}\sqrt{1-e^t}\mathrm{d}t=0$，结合严格单调性知唯一对应点为$x=-1$。
（3）在该点$f^{\prime }(-1)=\sqrt{1-e^{-1}}\ne 0$，故由反函数求导公式，

注意反函数自变量$y=0$不能直接代入原函数的导数$f^{\prime }(x)$，必须先找到对应的$x=-1$。