（1）先求分段点的导数。左侧函数恒为零，故左导数为 $0$。右侧差商为 $x^{\alpha -1}\cos (\frac{1}{x^{\beta }})$。当 $\alpha >1$ 时，有界三角因子乘以无穷小，极限为 $0$；当 $\alpha \le 1$ 时，沿 $x_k=(2k\pi {)}^{-\frac{1}{\beta }}$，差商为 $x_k^{\alpha -1}$，不趋于 $0$，不能与左导数相等。因此 $f^{\prime }(0)$ 存在当且仅当 $\alpha >1$，此时 $f^{\prime }(0)=0$。
（2）对 $x>0$ 用乘积与链式求导法则，得

当 $\alpha >1$ 时第一项趋于 $0$。第二项若 $\alpha -\beta -1>0$，也由有界性趋于 $0$；若指数不大于零，取 $x_k=(2k\pi +\frac{\pi }{2}{)}^{-\frac{1}{\beta }}$，余弦项为零、正弦为 $1$，导数沿此列为 $\beta x_k^{\alpha -\beta -1}$，等于 $\beta$ 或趋于正无穷，均不趋于 $f^{\prime }(0)=0$。
（3）因此导数连续当且仅当 $\alpha -\beta >1$。由于 $\beta >0$，此条件自动保证 $\alpha >1$；左侧导数恒零，充分性也成立。选 A。
题目问由连续性能推出什么。C 过强，例如 $\alpha =\frac{5}{2},\beta =1$ 已连续却不满足 C；B 与必要条件不相容；D 也非必要，例如 $\alpha =4,\beta =1$ 时连续而差为 $3$。不能把“选最弱充分条件”当作一般选择原则。