记 $S_n=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$。原式为 $\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}}$。

将根式差有理化：

$$\begin{array}{rl}\sqrt{S_n}-\sqrt{S_{n-1}}& =\frac{S_n-S_{n-1}}{\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n-1}}}\\ & =\frac{n}{\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}+\sqrt{\frac{n(n-1)}{2}}}.\end{array}$$

分子、分母同除以 $n$，得到

$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1+\frac{1}{n}}{2}}+\sqrt{\frac{1-\frac{1}{n}}{2}}}⟶\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$