每次取球后放回，所以两次取球相互独立；单次取到红、黑、白球的概率分别为 $\mathsf{P}(R)=\frac{1}{6}$、$\mathsf{P}(B)=\frac{1}{3}$、$\mathsf{P}(W)=\frac{1}{2}$。

事件 $Z=0$ 表示两次都没有取到白球，因此 $\mathsf{P}(Z=0)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}>0$。

在 $Z=0$ 的条件下，每次取球只可能为红球或黑球，且取到红球的条件概率为

取到黑球的条件概率为 $\frac{2}{3}$。由于原两次试验独立，施加这个逐次相同的条件后，两次条件试验仍独立。

两次取球相互独立，且单次取到红球、黑球、白球的概率分别为 $p_R=\frac{1}{6}$、$p_B=\frac{1}{3}$、$p_W=\frac{1}{2}$。

若 $X=x,Y=y$，则 $Z=2-x-y$。因此可行取值必须满足 $x,y$ 为非负整数且 $x+y\le 2$；对每个这样的 $(x,y)$，三类球的排列数为 $\frac{2!}{x!y!(2-x-y)!}$。

代入六个可行取值，得到

六个非零概率之和为 $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{36}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}=1$，其余 $(x,y)$ 的联合概率均为 $0$，所以这就给出了 $(X,Y)$ 的完整概率分布。