2002 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

设齐次线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ a x_{1} + b x_{2} + b x_{3} + \dots + b x_{n} = 0, b x_{1} + a x_{2} + b x_{3} + \dots + b x_{n} = 0, \dots\dots\dots\dots b x_{1} + b x_{2} + b x_{3} + \dots + a x_{n} = 0,

其中

a \neq = 0, b \neq = 0, n \geq 2

。讨论

a, b

为何值时方程组仅有零解、有无穷多组解；在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。

答案

仅有零解当且仅当 $a \neq = b$ 且 $a + (n - 1) b \neq = 0$ 。有无穷多解时： $a = b$ 时， $x = i = 1 \sum n - 1 c_{i} (e_{i} - e_{n})$ ，基础解系为 $e_{1} - e_{n}, \dots, e_{n - 1} - e_{n}$ ； $a + (n - 1) b = 0$ 时， $x = c (1, \dots, 1)^{T}$ ，基础解系为 $(1, \dots, 1)^{T}$ 。

解析

记 $S = x_{1} + \dots + x_{n}$ 。每个方程都可写为 $(a - b) x_{i} + b S = 0$ ，其系数矩阵为 $(a - b) I + b J$ ，其中 $J$ 为全一矩阵。

在满足 $S = 0$ 的子空间上，矩阵的特征值为 $a - b$ ，重数为 $n - 1$ ；在 $span {(1, \dots, 1)^{T}}$ 上，特征值为 $a + (n - 1) b$ 。因此方程组仅有零解当且仅当 $a \neq = b$ 且 $a + (n - 1) b \neq = 0$ 。

记 $e_{i}$ 为第 $i$ 个分量为 $1$ 、其余分量均为 $0$ 的 $n$ 维标准单位向量。若 $a = b$ ，则方程退化为 $S = 0$ ，解空间由 $e_{i} - e_{n} (i = 1, \dots, n - 1)$ 张成，全部解为 $x = i = 1 \sum n - 1 c_{i} (e_{i} - e_{n})$ 。

若 $a + (n - 1) b = 0$ ，则 $a - b = - nb \neq = 0$ ；只有全等分量方向属于零空间，故基础解系为 $(1, \dots, 1)^{T}$ ，全部解为 $x = c (1, \dots, 1)^{T}$ 。这两种奇异情形不重合，因为 $n \geq 2$ 且 $b \neq = 0$ 。