（1）按题意 $a>0$。在 $0$ 处分别对 $a,-a$ 使用含二阶导数拉格朗日余项的泰勒公式，存在 $u\in (0,a)$、$v\in (-a,0)$，使

（2）相加消去一次项，再用 $f(0)=0$，得到 $\frac{[f(a)+f(-a)]}{a^2}=\frac{[f^{\prime \prime }(u)+f^{\prime \prime }(v)]}{2}$。
（3）右端为两个函数值的平均数，介于二者之间。$f^{\prime \prime }$ 在 $[v,u]$ 连续，由介值定理，存在 $\xi \in [v,u]\subset (-a,a)$，使 $f^{\prime \prime }(\xi )$ 等于该平均数。如果两个值相等，取 $\xi =u$ 即可。因此 $f^{\prime \prime }(\xi )=\frac{[f(a)+f(-a)]}{a^2}$。

（1）设内点极值点为 $c\in (-a,a)$。由费马引理，$f^{\prime }(c)=0$。在 $c$ 处向两端展开，存在 $u\in (c,a)$、$v\in (-a,c)$，使

（2）相减消去 $f(c)$。从 $u,v$ 中选择一点 $\eta$，使 $M=|f^{\prime \prime }(\eta )|=\max \{|f^{\prime \prime }(u)|,|f^{\prime \prime }(v)|\}$。这两个候选点都在 $(-a,a)$ 内，故 $\eta$ 也在其中。
（3）取绝对值并放大，有

最后用了 $|c|<a$ 与 $M\ge 0$；即使 $M=0$，非严格不等式也成立。除以 $2a^2>0$，即得 $|f^{\prime \prime }(\eta )|\ge \frac{|f(a)-f(-a)|}{(2a^2)}$。