2006 · 数学一 · 第 18 题 · 解答题

设函数

f (u)

在

(0, + \infty)

内具有二阶导数，且

z = f (x^{2} + y^{2})

满足等式

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}} = 0

。

(1) 验证 $f^{''} (u) + \frac{f ^{'} ( u )}{u} = 0$ ；
(2) 若 $f (1) = 0, f^{'} (1) = 1$ ，求函数 $f (u)$ 的表达式。

答案

第 1 问

证明见解析

第 2 问

$f (u) = ln u$

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第 1 问

令 $u = x^{2} + y^{2} > 0$ 。则

z_{x} = f^{'} (u) \frac{x}{u}, z_{y} = f^{'} (u) \frac{y}{u} .

继续求导并相加：

z_{xx} z_{y y} = f^{''} (u) \frac{x ^{2}}{u ^{2}} + f^{'} (u) (\frac{1}{u} - \frac{x ^{2}}{u ^{3}}), = f^{''} (u) \frac{y ^{2}}{u ^{2}} + f^{'} (u) (\frac{1}{u} - \frac{y ^{2}}{u ^{3}}) .

利用 $x^{2} + y^{2} = u^{2}$ ，得到

z_{xx} + z_{y y} = f^{''} (u) + \frac{f ^{'} ( u )}{u} .

题设左端为零，故验证了 $f^{''} (u) + \frac{f ^{'} ( u )}{u} = 0$ 。

第 2 问

将第一问得到的方程 $f^{''} (u) + \frac{f ^{'} ( u )}{u} = 0$ 乘以 $u$ 后为 $(u f^{'} (u))^{'} = 0$ ，所以 $f^{'} (u) = \frac{C _{1}}{u}$ ，进而 $f (u) = C_{1} ln u + C_{2}$ 。

由 $f^{'} (1) = 1$ 得 $C_{1} = 1$ ；由 $f (1) = 0$ 得 $C_{2} = 0$ 。因此

f (u) = ln u, u > 0.