由被积函数连续，$f$可导且$f^{\prime }(x)=e^{x^2}$，又$f(1)=0$。待证式可改写为$(2-\xi )f^{\prime }(\xi )-f(\xi )=0$，其左侧恰为乘积$(2-x)f(x)$的导数在$\xi$处的值。
因此令$F(x)=(2-x)f(x)$。$F$在$[1,2]$连续、在$(1,2)$可导，且$F(1)=f(1)=0$，$F(2)=0$。由罗尔定理，存在$\xi \in (1,2)$，使

代入$f^{\prime }(\xi )=e^{{\xi }^2}$，即得$f(\xi )=(2-\xi )e^{{\xi }^2}$。

由$f(1)=0$和$\ln 1=0$，待证式可写成$\frac{[f(2)-f(1)]}{[\ln 2-\ln 1]}=\eta e^{{\eta }^2}$。右侧又是$\frac{f^{\prime }(\eta )}{(\ln x{)}^{\prime }}{|}_{x=\eta }$，故考虑函数$f(x)$与$h(x)=\ln x$。
它们在$[1,2]$连续、在$(1,2)$可导，且$h^{\prime }(x)=\frac{1}{x}\ne 0$。由柯西中值定理，存在$\eta \in (1,2)$，使

所以$f(2)=\ln 2\cdot \eta e^{{\eta }^2}$，得证。