将函数展开为 $z=3xy-x^{2}y-x{y}^2$，求一阶偏导得 $z_x=y(3-2x-y)$、$z_y=x(3-x-2y)$。令两者同时为零：若 $y=0$，得 $x=0$ 或 $3$；若 $x=0$，得 $y=0$ 或 $3$；若 $xy\ne 0$，则 $2x+y=3$、$x+2y=3$，解得 $(1,1)$。故全部驻点为 $(0,0)$、$(0,3)$、$(3,0)$、$(1,1)$。
二阶偏导为 $A=z_{xx}=-2y$、$B=z_{xy}=3-2x-2y$、$C=z_{yy}=-2x$。前三点的 $(A,B,C)$ 分别为 $(0,3,0)$、$(-6,-3,0)$、$(0,-3,-6)$，均满足 $AC-B^2=-9<0$，因此都是鞍点。
在 $(1,1)$ 处，$A=C=-2$、$B=-1$，故 $AC-B^2=4-1=3>0$ 且 $A<0$。函数为多项式，二阶偏导连续，故 $(1,1)$ 为极大值点，极大值为 $z(1,1)=1$，选 D。
以原点为例，沿 $y=x$ 有 $z=x^2(3-2x)>0$，沿 $y=-x$ 有 $z=-3x^2<0$（充分小的非零 $x$），也能直接看出原点不是极值点。