1994 · 数学一 · 第 11 题 · 解答题

设

⎩ ⎨ ⎧ x = cos (t^{2}) y = t cos (t^{2}) - \int_{1}^{t^{2}} \frac{cos u}{2 u} d u

。

答案

$\frac{π}{2}$

$- \frac{1}{2 π}$

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在题定参数值附近 $t > 0$ 。由变上限积分求导，

\frac{d}{d t} \int_{1}^{t^{2}} \frac{cos u}{2 u} d u = cos (t^{2}) .

于是 $\frac{d x}{d t} = - 2 t sin (t^{2})$ ， $\frac{d y}{d t} = - 2 t^{2} sin (t^{2})$ ，故 $\frac{d y}{d x} = t$ 。

代入 $t = \frac{π}{2}$ ，所求值为 $\frac{π}{2}$ 。

由第一问 $\frac{d y}{d x} = t$ ，有

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d t}{d x} = - \frac{1}{2 t sin ( t ^{2} )} .

在 $t = \frac{π}{2}$ 时， $sin (t^{2}) = 1$ ，故所求值为 $- \frac{1}{2 π}$ 。