2010 · 数学一 · 第 15 题 · 解答题

（1）对应齐次方程的特征方程为 $r^{2} - 3 r + 2 = (r - 1) (r - 2) = 0$ ，两个相异实根为 $1, 2$ ，故齐次通解为 $Y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x}$ 。
（2）右端为一次多项式乘 $e^{x}$ ，而 $1$ 是单特征根，所以设特解 $y^{*} = x (a x + b) e^{x}$ 。待定一次多项式的常数项不能遗漏。令 $u = a x^{2} + b x$ ，则

y^{'} y^{''} y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = (u^{'} + u) e^{x}, = (u^{''} + 2 u^{'} + u) e^{x}, = (u^{''} - u^{'}) e^{x} .

代入 $u^{'} = 2 a x + b$ 、 $u^{''} = 2 a$ ，得到 $- 2 a x + 2 a - b = 2 x$ 。比较系数得 $- 2 a = 2$ 、 $2 a - b = 0$ ，从而 $a = - 1, b = - 2$ ，即 $y^{*} = - (x^{2} + 2 x) e^{x}$ 。
（3）齐次通解加一个特解，得到

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x} - (x^{2} + 2 x) e^{x} .

核对特解： $(y^{*})^{'} = - (x^{2} + 4 x + 2) e^{x}$ ， $(y^{*})^{''} = - (x^{2} + 6 x + 6) e^{x}$ ，故

(y^{*})^{''} - 3 (y^{*})^{'} + 2 y^{*} = e^{x} [- (x^{2} + 6 x + 6) + 3 (x^{2} + 4 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x)] = 2 x e^{x} .

答案