1993 · 数学三 · 第 12 题 · 解答题

已知

x \to \infty lim (\frac{x - a}{x + a})^{x} = \int_{a}^{+ \infty} 4 x^{2} e^{- 2 x} d x

，求常数

a

的值。

答案

$a = 0 或 a = - 1$

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对任意实常数 $a$ ，当 $x$ 充分大时底数为正，且

x ln \frac{x - a}{x + a} = x [ln (1 - \frac{a}{x}) - ln (1 + \frac{a}{x})] ⟶ - 2 a .

因而左端极限为 $e^{- 2 a}$ 。

分部积分可得

\int_{a}^{+ \infty} 4 x^{2} e^{- 2 x} d x = e^{- 2 a} (2 a^{2} + 2 a + 1) .

两端相等且 $e^{- 2 a} > 0$ ，故 $2 a^{2} + 2 a = 0$ ，即 $a = 0$ 或 $a = - 1$ 。两值均满足原式。