2019 · 数学二 · 第 20 题 · 解答题

已知函数

u (x, y)

满足关系式

2 \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} - 2 \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} + 3 \frac{\partial u}{\partial x} + 3 \frac{\partial u}{\partial y} = 0

。求

a, b

的值，使得在变换

u (x, y) = v (x, y) e^{a x + b y}

之下，上述等式可化为函数

v (x, y)

的不含一阶偏导数的等式。

答案

$a = - \frac{3}{4}, b = \frac{3}{4}$

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记 $E = e^{a x + b y} > 0$ ，则 $E_{x} = a E$ 、 $E_{y} = b E$ 。由乘积法则，

u_{x} u_{y} = E (v_{x} + a v), = E (v_{y} + b v), u_{xx} u_{y y} = E (v_{xx} + 2 a v_{x} + a^{2} v), = E (v_{y y} + 2 b v_{y} + b^{2} v) .

代入原方程并约去 $E$ ，得到

0 = 2 v_{xx} - 2 v_{y y} + (4 a + 3) v_{x} + (3 - 4 b) v_{y} + (2 a^{2} - 2 b^{2} + 3 a + 3 b) v .

要消去一阶偏导数项，须有 $4 a + 3 = 0$ 、 $3 - 4 b = 0$ ，解得 $a = - \frac{3}{4}$ 、 $b = \frac{3}{4}$ 。
此时 $a + b = 0$ 、 $a^{2} - b^{2} = 0$ ，零阶项系数也为零，方程化为 $2 v_{xx} - 2 v_{y y} = 0$ ，即 $v_{xx} - v_{y y} = 0$ 。计算 $v_{y}$ 的系数时要保留原方程中 $u_{y y}$ 前的负号。