积分区域为 $D=\{(x,y):0\le y\le x\le 1\}$。原点处 $\frac{e^{x^2}}{x}$ 有奇性，不能直接以闭区域连续作为换序依据。该项非负，先按非负函数的积分定理换序，有

$$J_1={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^x\frac{e^{x^2}}{x}\mathrm{d}y={\int }_0^1{e}^{x^2}\mathrm{d}x<+\infty .$$

因此第一项可积；第二项连续有界，也可积，故原积分绝对收敛，可以拆成 $J=J_1-J_2$。第二项保留原次序：

$$\begin{array}{rl}{J}_2& ={\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_y^1{e}^{y^2}\mathrm{d}x={\int }_0^1(1-y)e^{y^2}\mathrm{d}y\\ & ={\int }_0^1{e}^{y^2}\mathrm{d}y-{\int }_0^{1}y{e}^{y^2}\mathrm{d}y.\end{array}$$

由于积分变量只是哑变量，${\int }_0^1{e}^{x^2}\mathrm{d}x={\int }_0^1{e}^{y^2}\mathrm{d}y$，相减后这两项消去，得

$$J={\int }_0^{1}y{e}^{y^2}\mathrm{d}y=\frac{1}{2}[e^{y^2}{]}_0^1=\frac{e-1}{2}.$$

原式外层在 $y=0$ 端点按反常积分理解；该单点的内层发散不妨碍上述绝对收敛的二重积分。