（1）先求复合函数列的通项。由$f_1(x)=\frac{x}{(1+x)}$，$f_2(x)=\frac{x}{(1+2x)}$，猜测$f_n(x)=\frac{x}{(1+nx)}$。下面用数学归纳法证明。
$n=1$时成立。若$f_{n-1}(x)=\frac{x}{[1+(n-1)x]}$，则在$[0,1]$上分母为正且$f_{n-1}(x)\in [0,1]$，可以继续复合，得到

故通项对所有正整数$n$成立。
（2）因$f_n(x)\ge 0$且$f_n(0)=0$，所求面积为$S_n={\int }_0^1\frac{x}{1+nx}dx$。用分子凑分母，$\frac{x}{(1+nx)}=\frac{1}{n}(1-\frac{1}{1+nx})$，于是

（3）由洛必达法则，$\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{1}{(1+t)}=0$，故