2004 · 数学二 · 第 12 题 · 选择题

设函数

f (u)

连续，区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2 y}

，则

\iint_{D} f (x y) d x d y

等于（　　）。

A
$\int_{- 1}^{1} d x \int_{- 1 - x^{2}}^{1 - x^{2}} f (x y) d y$
B
$2 \int_{0}^{2} d y \int_{0}^{2 y - y^{2}} f (x y) d x$
C
$\int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 s i n θ} f (r^{2} sin θ cos θ) d r$
D
$\int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 s i n θ} f (r^{2} sin θ cos θ) r d r$
正确答案

答案

查看解析展开

区域满足 $x^{2} + y^{2} \leq 2 y$ ，即 $x^{2} + (y - 1)^{2} \leq 1$ 。在直角坐标中， $0 \leq y \leq 2$ ，且 $- 2 y - y^{2} \leq x \leq 2 y - y^{2}$ 。但 $f (x y)$ 未知且不必关于 $x$ 为偶函数，所以不能把右半区域积分简单乘以 $2$ ，选项 B 不成立。

取极坐标 $x = r cos θ$ 、 $y = r sin θ$ ，则区域对应于 $0 \leq θ \leq π$ 、 $0 \leq r \leq 2 sin θ$ ，并且 $x y = r^{2} sin θ cos θ$ ，雅可比为 $r$ 。

因此积分等于

\int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 s i n θ} f (r^{2} sin θ cos θ) r d r,

正确选项为 D。