在$[0,1]$上$\sqrt{x}\sin \pi x\ge 0$，且两端为零。绕$x$轴的截面是半径$\sqrt{x}\sin \pi x$的圆盘，故

第一项的积分为$\frac{1}{2}$。第二项分部积分：

所以$V=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{\pi }{2}\cdot 0=\frac{\pi }{4}$。

绕$x$轴用圆盘法得到$V=\pi {\int }_0^{1}x{\sin }^2\pi xdx$。令$I={\int }_0^{1}x{\sin }^2\pi xdx$，利用关于$x=\frac{1}{2}$的对称性，作$u=1-x$，上下限由$0,1$变为$1,0$，且${\sin }^2\pi (1-u)={\sin }^2\pi u$，得$I={\int }_0^1(1-u){\sin }^2\pi udu$。两式相加：

所以$I=\frac{1}{4}$，$V=\pi I=\frac{\pi }{4}$。