令 $h(x)=f(x)-x$。由 $0<f(0)<1$ 得 $h(0)=f(0)>0$；由 $0<f(1)<1$ 得 $h(1)=f(1)-1<0$。函数 $h$ 在 $[0,1]$ 上连续，故由介值定理，至少存在一个 $\xi \in (0,1)$ 使 $h(\xi )=0$，即 $f(\xi )=\xi$。

若存在两个不同的不动点 ${\xi }_1,{\xi }_2$，则 $h({\xi }_1)=h({\xi }_2)=0$。由罗尔定理，在二者之间存在 $c$ 使 $h^{\prime }(c)=0$，即 $f^{\prime }(c)-1=0$，这与题设 $f^{\prime }(x)\ne 1$ 矛盾。

所以该不动点既存在又唯一，且位于 $(0,1)$ 内。