2004 · 数学三 · 第 10 题 · 选择题

设有下列命题：①若

n = 1 \sum \infty (u_{2 n - 1} + u_{2 n})

收敛，则

n = 1 \sum \infty u_{n}

收敛。②若

n = 1 \sum \infty u_{n}

收敛，则

n = 1 \sum \infty u_{n + 1000}

收敛。③若

n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} > 1

，则

n = 1 \sum \infty u_{n}

发散。④若

n = 1 \sum \infty (u_{n} + v_{n})

收敛，则

n = 1 \sum \infty u_{n}

，

n = 1 \sum \infty v_{n}

都收敛。则以下命题中正确的是（　　）。

答案

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命题①不成立，例如令 $u_{2 n - 1} = 1$ 、 $u_{2 n} = - 1$ ，成对级数收敛而原级数的部分和振荡。命题②成立，因为它只是收敛级数去掉有限项后的尾级数。

若命题③中的比值极限大于 $1$ ，则从某项起 $∣ u_{n + 1} ∣ > ∣ u_{n} ∣$ ，通项不趋于 $0$ ，故级数发散，命题③成立。命题④可被 $u_{n} = 1, v_{n} = - 1$ 的抵消反例否定。故正确的是②③，选 B。