方程两边构成偶函数。对正根，令 $h(x)=x^{\frac{1}{4}}+x^{\frac{1}{2}}-\cos x$。若 $h(x)=0$，则 $x^{\frac{1}{4}}+x^{\frac{1}{2}}\le 1$，从而 $0<x<1$。

在满足上述必要条件的区间内，$h^{\prime }(x)=\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}+\sin x>0$。又 $h(0)=-1$，而在 $x^{\frac{1}{4}}+x^{\frac{1}{2}}=1$ 的点处 $h(x)=1-\cos x>0$，故恰有一个正根。

由偶性另有一个对应的负根，且 $x=0$ 不是根，所以共有两个实根，选 C。