记 $q=p(1-p)>0$。由二项分布，$\mathrm{Var}(X)=q$、$\mathrm{Var}(Y)=2q$。协方差展开后，中间两项因对称性相消：

这一步不需要独立性。计算分母时用到独立性：$\mathrm{Cov}(X,Y)=0$，故

因此

$p\in (0,1)$ 保证方差为正，约去 $q$ 合法。$X-Y$ 的方差中两个方差仍是相加，不能把它写成 $q-2q$。