写成 $A=(1-a)E+aJ$，其中 $J$ 是全 1 矩阵。于是 $A$ 的特征值为 $1+(n-1)a$（一次）和 $1-a$（重数 $n-1$）。

秩为 $n-1$ 时恰有一个特征值为零，因此 $1+(n-1)a=0$，得到 $a=\frac{1}{1-n}$。另一可能 $a=1$ 会使秩为 $1$，而 $n\ge 3$，不合题意。应选 B。