2007 · 数学二 · 第 22 题 · 解答题

设积分为 $I = I_{1} + I_{2}$ ，其中 $I_{1}$ 对应 $∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 1$ ， $I_{2}$ 对应 $1 < ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 2$ 。

由四象限对称性，

I_{1} = 4 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} x^{2} d y d x = 4 \int_{0}^{1} x^{2} (1 - x) d x = \frac{1}{3} .

对 $I_{2}$ 在第一象限使用极坐标 $x = r cos θ, y = r sin θ$ 。此时

0 \leq θ \leq \frac{π}{2}, \frac{1}{cos θ + sin θ} < r \leq \frac{2}{cos θ + sin θ} .

由于 $d σ = r d r d θ$ ，

I_{2} = 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{\frac{1}{( cos θ + sin θ )}}^{\frac{2}{( cos θ + sin θ )}} \frac{1}{r} r d r d θ = 4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d θ}{cos θ + sin θ} .

利用 $cos θ + sin θ = 2 cos (θ - \frac{π}{4})$ ，可得

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d θ}{cos θ + sin θ} = 2 ln (1 + 2) .

所以 $I_{2} = 42 ln (1 + 2)$ ，最终

I = \frac{1}{3} + 42 ln (1 + 2) .

答案