（1）先取 $0<t<\frac{\pi }{2}$，切点为 $M=(f(t),\cos t)$。因 $f^{\prime }(t)>0$，参数求导给出切线斜率 $-\frac{\sin t}{f^{\prime }(t)}$，切线方程为 $Y-\cos t=-\frac{\sin t(X-f(t))}{f^{\prime }(t)}$。令 $Y=0$，得到与 $x$ 轴的交点

（2）由两点距离恒为 $1$，有 $[f^{\prime }(t)\frac{\cos t}{\sin t}{]}^2+{\cos }^{2}t=1$，从而 $[f^{\prime }(t){]}^2=\frac{{\sin }^{4}t}{{\cos }^{2}t}$。在该区间内正弦、余弦均为正，再由 $f^{\prime }(t)>0$ 选正支，得到 $f^{\prime }(t)=\frac{{\sin }^{2}t}{\cos t}=\sec t-\cos t$。
（3）积分得 $f(t)=\ln (\sec t+\tan t)-\sin t+C$。因 $\sec t+\tan t>0$，对数无需绝对值；由 $f(0)=0$ 及连续性得 $C=0$。求导回代，有 $f^{\prime }(t)=\frac{{\sin }^{2}t}{\cos t}>0$，且距离平方为 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$。
在端点 $t=0$，所求参数曲线的两分量导数都为零，不能直接套斜率商或断言切线水平。由 $f^{\prime }(t)\sim t^2$，得 $f(t)\sim \frac{t^3}{3}$，而 $\cos t-1\sim -\frac{t^2}{2}$，故 $\frac{f(t)}{(\cos t-1)}\to 0$，端点切线为竖直线 $x=0$，到其与 $x$ 轴交点的距离仍为 $1$。
（4）当 $t\to \frac{\pi }{2}-$，$f(t)\to +\infty$，而 $\cos t\to 0$。由于 $f$ 严格递增，所求面积是曲线下方的反常积分。作参数代换 $x=f(t)$、$\mathrm{d}x=f^{\prime }(t)\mathrm{d}t$，得到

换元后的被积函数连续，故该反常面积收敛。