因 $a>\mathrm{e}>0$ 且 $x>0$，两边均为正。所证不等式等价于

令

则 $\phi (0)=0$，且

这里使用了 $\ln a>1$ 及 $\frac{a}{(a+x)}<1$。

因此 $\phi$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格递增，故对 $x>0$ 有 $\phi (x)>0$，从而 $(a+x{)}^a<a^{a+x}$。