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设
x
2
+
z
2
=
y
ϕ
(
y
z
)
,其中
ϕ
为可微函数,求
∂
y
∂
z
。
答案
2
z
−
ϕ
′
(
y
z
)
ϕ
(
y
z
)
−
y
z
ϕ
′
(
y
z
)
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令
u
=
y
z
,把
x
视为常数。对等式两边关于
y
求导:
2
z
∂
y
∂
z
=
ϕ
(
u
)
+
y
ϕ
′
(
u
)
∂
y
∂
u
.
由
∂
y
∂
u
=
y
1
∂
y
∂
z
−
y
2
z
,
可得
(
2
z
−
ϕ
′
(
u
)
)
∂
y
∂
z
=
ϕ
(
u
)
−
u
ϕ
′
(
u
)
.
因此在
y
=
0
且
2
z
−
ϕ
′
(
y
z
)
=
0
时,
∂
y
∂
z
=
2
z
−
ϕ
′
(
y
z
)
ϕ
(
y
z
)
−
(
y
z
)
ϕ
′
(
y
z
)
.