2002 · 数学三 · 第 20 题 · 解答题

假设一设备开机后无故障工作的时间

X

服从指数分布，平均无故障工作的时间

E (X)

为

5

小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作

2

小时便关机。求该设备每次开机无故障工作的时间

Y

的分布函数

F (y)

。

答案

$F (y) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 1 - e^{- \frac{y}{5}}, 1, y < 0, 0 \leq y < 2, y \geq 2.$

平均无故障时间为 5 小时，所以 $X$ 的指数分布率为 $λ = \frac{1}{5}$ ，其分布函数为 $P (X \leq y) = 1 - e^{- \frac{y}{5}}$ （ $y \geq 0$ ）。

设备在首次故障或运行满 2 小时即停止，因此 $Y = min (X, 2)$ 。当 $y < 0$ 时， $F (y) = 0$ 。当 $0 \leq y < 2$ 时， $P (Y \leq y) = P (X \leq y) = 1 - e^{- \frac{y}{5}}$ 。

当 $y \geq 2$ 时必有 $Y \leq y$ ，故 $F (y) = 1$ ；同时 $P (Y = 2) = P (X \geq 2) = e^{- \frac{2}{5}}$ ，这由分布函数在 $2$ 处的跳跃体现。