2006 · 数学三 · 第 22 题 · 解答题

随机变量

X

的概率密度为

f_{X} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 0, - 1 < x < 0, 0 \leq x < 2, 其他 .

，令

Y = X^{2}

，

F (x, y)

为二维随机变量

(X, Y)

的分布函数。求：

(1) $Y$ 的概率密度 $f_{Y} (y)$ ；
(2) $Cov (X, Y)$ ；
(3) $F (- \frac{1}{2}, 4)$ 。

答案

第 1 问

$f_{Y} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{8 y}, \frac{1}{8 y}, 0, 0 < y < 1, 1 \leq y < 4, 其他 .$

第 2 问

$Cov (X, Y) = \frac{2}{3}$

第 3 问

$F (- \frac{1}{2}, 4) = \frac{1}{4}$

解析

第 1 问

由 $Y = X^{2}$ 可知，当 $y > 0$ 时，方程 $x^{2} = y$ 的逆像为 $x = y$ 和 $x = - y$ ，并且每个逆像满足 $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 y}$ 。负根属于 $(- 1, 0)$ 当且仅当 $0 < y < 1$ ，正根属于 $[0, 2)$ 当且仅当 $0 < y < 4$ 。

f_{Y} (y) = x_{i}^{2} = y \sum \frac{f _{X} ( x _{i} )}{∣2 x _{i} ∣} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}{2 y} = \frac{3}{8 y}, \frac{\frac{1}{4}}{2 y} = \frac{1}{8 y}, 0, 0 < y < 1, 1 \leq y < 4, 其他 .

在 $y = 0$ 处， $P (Y = 0) = P (X = 0) = 0$ ，因此可将密度取为 $0$ ；单点 $y = 1$ 的取值不影响概率，以上取第二段的值。归一化检验为 $\int_{0}^{1} \frac{3}{8 y} d y + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 y} d y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ 。

第 2 问

因 $Y = X^{2}$ ，所以 $Cov (X, Y) = E [X^{3}] - E [X] E [X^{2}]$ 。

E [X] E [X^{2}] = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{0} x d x + \frac{1}{4} \int_{0}^{2} x d x = \frac{1}{4}, = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \frac{1}{4} \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{5}{6},

E [X^{3}] = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{0} x^{3} d x + \frac{1}{4} \int_{0}^{2} x^{3} d x = - \frac{1}{8} + 1 = \frac{7}{8} .

Cov (X, Y) = \frac{7}{8} - \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{6} = \frac{21}{24} - \frac{5}{24} = \frac{2}{3} .

第 3 问

由二维分布函数的定义， $F (- \frac{1}{2}, 4) = P (X \leq - \frac{1}{2}, Y \leq 4)$ 。

在事件 $X \leq - \frac{1}{2}$ 上有 $X \in (- 1, - \frac{1}{2}]$ ，故 $Y = X^{2} \leq 1 < 4$ ，于是该事件自动满足 $Y \leq 4$ ，从而 $F (- \frac{1}{2}, 4) = P (X \leq - \frac{1}{2})$ 。

F (- \frac{1}{2}, 4) = \int_{- 1}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{2} d x = \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} - (- 1)) = \frac{1}{4} .