1996 · 数学一 · 第 11 题 · 解答题

求心形线

r = a (1 + cos θ)

的全长，其中

a > 0

是常数。

答案

$8 a$

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有 $r^{'} = - a sin θ$ ，故弧长微元为

r^{2} + (r^{'})^{2} d θ = a (1 + cos θ)^{2} + sin^{2} θ d θ = 2 a ∣ cos (\frac{θ}{2}) ∣ d θ .

全长

L = 2 a \int_{0}^{2 π} ∣ cos (\frac{θ}{2}) ∣ d θ = 4 a \int_{0}^{π} ∣ cos u ∣ d u = 8 a .