令 $h(x)=x-\frac{\pi }{2}\sin x$。在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 上，

因而 $h^{\prime }$ 严格递增，并在唯一一点 $x_0=\arccos (\frac{2}{\pi })$ 处为零。

所以 $h$ 在 $(0,x_0)$ 上严格递减，在 $(x_0,\frac{\pi }{2})$ 上严格递增。两端的极限均为 $0$，而最小值为

水平线 $y=k$ 与该图像比较：$k<m$ 时无交点，$k=m$ 时在 $x_0$ 处有一个交点，$m<k<0$ 时在两个单调区间各有一个交点。因为端点 $0,\frac{\pi }{2}$ 不属于题设开区间，$k=0$ 时也无根；$k>0$ 时同样无根。