1995 · 数学三 · 第 13 题 · 解答题

设函数

y = ln (1 - x - 2 x^{2})

。

(1) 将函数展开成 $x$ 的幂级数；
(2) 指出所得幂级数的收敛区间。

答案

第 1 问

$n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1} - 2 ^{n}}{n} x^{n}$

第 2 问

$[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

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第 1 问

在 $x = 0$ 的邻域内， $1 - x - 2 x^{2} = (1 + x) (1 - 2 x) > 0$ ，故

ln (1 - x - 2 x^{2}) = ln (1 + x) + ln (1 - 2 x) .

分别使用 $ln (1 + x) = n = 1 \sum \infty (- 1)^{n + 1} \frac{x ^{n}}{n}$ 与 $ln (1 - 2 x) = - n = 1 \sum \infty \frac{( 2 x ) ^{n}}{n}$ ，得到

ln (1 - x - 2 x^{2}) = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1} - 2 ^{n}}{n} x^{n} .

第 2 问

第一问展开的两级数共同收敛要求 $∣ x ∣ < 1$ 且 $∣2 x ∣ < 1$ ，所以合成级数的收敛半径为 $\frac{1}{2}$ 。

当 $x = \frac{1}{2}$ 时， $ln (1 - 2 x)$ 对应的级数为 $- \sum \frac{1}{n}$ ，发散；当 $x = - \frac{1}{2}$ 时，两部分均收敛，其中第二部分为交错调和级数。因此收敛区间为 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 。