1987 · 数学一 · 第 15 题 · 解答题

旋转后曲面满足 $y = 1 + x^{2} + z^{2}$ ，且 $x^{2} + z^{2} \leq 2$ 。用 $(x, z)$ 参数化为 $r = (x, 1 + x^{2} + z^{2}, z)$ 。为使法向量与 $y$ 轴正向夹角大于 $\frac{π}{2}$ ，取

r_{x} \times r_{z} = (2 x, - 1, 2 z) .

记向量场为 $F = (x (8 y + 1), 2 (1 - y^{2}), - 4 y z)$ 。于是

I = \iint_{D} F \cdot (2 x, - 1, 2 z) d x d z, D : x^{2} + z^{2} \leq 2.

代入 $y = 1 + x^{2} + z^{2}$ 后，被积函数为

2 x^{2} (8 y + 1) + 2 (y^{2} - 1) - 8 y z^{2} .

记 $r^{2} = x^{2} + z^{2}$ ， $d A = d x d z$ 。利用圆盘对称性， $\iint_{D} x^{2} d A = π$ 、 $\iint_{D} (x^{2} + z^{2}) x^{2} d A = \frac{4 π}{3}$ 、 $\iint_{D} r^{2} d A = 2 π$ 、 $\iint_{D} r^{4} d A = \frac{8 π}{3}$ 。因此

I = 8 \cdot \frac{7 π}{3} + 2 π + 4 \cdot 2 π + 2 \cdot \frac{8 π}{3} = 34 π .

答案