当 $x\to 0$ 时，

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{e}}^x-\sin x-1& =\left(1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)\right)-\left(x+O(x^3)\right)-1\\ & =\frac{x^2}{2}+O(x^3).\end{array}$$

同时

$$1-\sqrt{1-x^2}=1-\left(1-\frac{x^2}{2}+O(x^4)\right)=\frac{x^2}{2}+O(x^4).$$

因而原极限为 $1$。