当 $x\ne 0$ 时，$g(x)=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$。由 $f$ 在 $0$ 处连续，积分平均值满足 $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=f(0)$。

$g(0)$ 未定义而极限存在且有限，因此 $x=0$ 是可去间断点，选项为 B。