（1）收敛域。令 $m=n+1$，原级数为 $\sum _{m=1}^{\infty }\frac{x^{2m}}{[m(2m-1)]}$。对 $x\ne 0$，相邻项绝对值比的极限为

故半径为 $1$。$x=\pm 1$ 时两端均为正项级数 $\sum \frac{1}{[m(2m-1)]}$，其通项与 $\frac{1}{(2m^2)}$ 等价，所以收敛。收敛域为 $[-1,1]$。
（2）区间内求和。由部分分式

在 $|x|<1$ 内可写 $S=2A-B$，其中 $A=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{x^{2m}}{(2m-1)}$、$B=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{x^{2m}}{m}$。由对数展开，$B=-\ln (1-x^2)$。
令 $g(x)=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)}$，则 $A=xg(x)$。逐项求导得 $g^{\prime }(x)=\frac{1}{(1-x^2)}$，再由 $g(0)=0$，

所以

（3）端点和。两端级数已证收敛，由阿贝尔定理可从内部取极限。利用 $t\ln t\to 0$（$t\to 0^{+}$），得 $S(1)=2\ln 2$；又级数仅含偶次幂，故 $S(-1)=S(1)=2\ln 2$。端点值按此极限定义，不能直接把 $\ln 0$ 当成有定义。