2003 · 数学二 · 第 8 题 · 选择题

设

a_{n} = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n + 1}} x^{n - 1} 1 + x^{n} d x

，则极限

n \to \infty lim n a_{n}

等于（　　）。

答案

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令 $u = x^{n}$ ，则 $d u = n x^{n - 1} d x$ ，从而

a_{n} = \frac{1}{n} (1 + (\frac{n}{n + 1})^{n})^{\frac{3}{2}} - 1 .

因此

n a_{n} = (1 + (\frac{n}{n + 1})^{n})^{\frac{3}{2}} - 1 \to (1 + e^{- 1})^{\frac{3}{2}} - 1.

这对应第二个选项，故答案为 B。