1990 · 数学一 · 第 10 题 · 选择题

已知

β_{1}

、

β_{2}

是非齐次线性方程组

A X = b

的两个不同的解，

α_{1}

、

α_{2}

是对应齐次线性方程组

A X = 0

的基础解系，

k_{1}

、

k_{2}

为任意常数，则方程组

A X = b

的通解（一般解）必是（　　）。

答案

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由于 $A β_{1} = A β_{2} = b$ ，有 $A [\frac{( β _{1} + β _{2} )}{2}] = b$ ，所以 $\frac{( β _{1} + β _{2} )}{2}$ 是非齐次方程组的一个特解。

$α_{1}, α_{2}$ 是齐次方程组的基础解系，因此 $α_{1}, α_{1} - α_{2}$ 仍是一个基础解系：从 $c_{1} α_{1} + c_{2} (α_{1} - α_{2}) = 0$ 可由原基础解系的线性无关性推出 $c_{1} = c_{2} = 0$ 。

故通解可写成

k_{1} α_{1} + k_{2} (α_{1} - α_{2}) + \frac{β _{1} + β _{2}}{2},

即选择 B。