（1）当 $x\to +\infty$ 时，$\frac{1}{x}\to 0^{+}$。由 $e^{\frac{1}{x}}=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{(2x^2)}+o(x^{-2})$，展开得

（2）若 $a\ne 1$，线性项 $(a-1)x$ 无界，其余项有有限极限，不可能使总极限为 $2$。因此 $a=1$，此时极限为 $a+b=1+b$，故 $b=1$。
（3）代入 $a=b=1$，上式为 $2+\frac{3}{(2x)}+o(x^{-1})\to 2$，满足题意。若只需本题极限，展开到 $e^{\frac{1}{x}}=1+\frac{1}{x}+o(x^{-1})$ 已足够，因为乘以 $ax+b$ 后余项为 $o(1)$；保留二阶项还能读出下一阶误差。

令 $t=\frac{1}{x}\to 0^{+}$，原极限化为 $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{[(a+bt)e^t-1]}{t}=2$。因商有有限极限，分子等于该商乘以 $t$，必趋于零，故 $a-1=0$，即 $a=1$。
代入后为 $\frac{0}{0}$ 型，分母导数为 $1$，用洛必达法则得

令其等于 $2$，得 $b=1$。因此 $a=b=1$。