（1）求对应点。在原方程中令 $x=1$，得 $y^3+y-2=(y-1)(y^2+y+2)=0$。因 $y^2+y+2=(y+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{7}{4}>0$，故唯一实根为 $y(1)=1$。原方程关于 $y$ 的偏导为 $x+3y^2$，在该点等于 $4\ne 0$，局部隐函数光滑，可以求二阶导数。
（2）一次求导得 $2x+y+x{y}^{\prime }+3y^2{y}^{\prime }=0$。代入 $x=y=1$，有 $3+4y^{\prime }=0$，所以 $y^{\prime }(1)=-\frac{3}{4}$。
（3）对一次求导后的恒等式再求导。$x{y}^{\prime }$ 的导数为 $y^{\prime }+x{y}^{\prime \prime }$，$3y^2{y}^{\prime }$ 的导数为 $6y(y^{\prime }{)}^2+3y^2{y}^{\prime \prime }$，故

代入 $x=y=1,y^{\prime }=-\frac{3}{4}$，得到 $2-\frac{3}{2}+6\cdot \frac{9}{16}+4y^{\prime \prime }=0$，即 $\frac{31}{8}+4y^{\prime \prime }=0$，所以 $y^{\prime \prime }(1)=-\frac{31}{32}$。先求导关系式，再代值，不能对代值后的数值等式继续求导。