2003 · 数学二 · 第 20 题 · 解答题

设函数

f (x)

在

[a, b]

连续，在

(a, b)

可导，且

f^{'} (x) > 0

。若

x \to a^{+} lim \frac{f ( 2 x - a )}{x - a}

存在，证明：

(1) 在 $(a, b)$ 内 $f (x) > 0$ ；
(2) 在 $(a, b)$ 内存在 $ξ$ ，使 $\frac{b ^{2} - a ^{2}}{\int _{a}^{b} f ( x ) d x} = \frac{2 ξ}{f ( ξ )}$ ；
(3) 在 $(a, b)$ 内存在与 $ξ$ 相异的 $η$ ，使 $f^{'} (η) (b^{2} - a^{2}) = \frac{2 ξ}{ξ - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

答案

第 1 问

证明见解析

第 2 问

证明见解析

第 3 问

证明见解析

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第 1 问

题设中的极限为有限极限。因 $2 x - a \to a^{+}$ 且 $f$ 在 $a$ 连续，若 $f (a) \neq = 0$ ，则分子趋于非零数、分母趋于 $0^{+}$ ，极限不可能有限，故 $f (a) = 0$ 。

对任意 $x \in (a, b)$ ，由拉格朗日中值定理， $f (x) - f (a) = f^{'} (ζ) (x - a) > 0$ ，其中 $ζ \in (a, x)$ 。所以 $f (x) > 0$ 。

第 2 问

由 p1， $f > 0$ 于 $(a, b)$ ，从而 $\int_{a}^{b} f (x) d x > 0$ 。令 $F (x) = \int_{a}^{x} f (u) d u$ ， $G (x) = \frac{x ^{2} - a ^{2}}{2}$ 。

对 $F, G$ 在 $[a, b]$ 上应用柯西中值定理，存在 $ξ \in (a, b)$ 使 $F (b) G^{'} (ξ) = (G (b) - G (a)) F^{'} (ξ)$ 。

即 $(\int_{a}^{b} f (x) d x) ξ = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{2} f (ξ)$ 。因 $f (ξ) > 0$ ，整理得 $\frac{b ^{2} - a ^{2}}{\int _{a}^{b} f ( x ) d x} = \frac{2 ξ}{f ( ξ )}$ 。该推导也涵盖 $b^{2} = a^{2}$ 的退化情形。

第 3 问

在 $[a, ξ]$ 上对 $f$ 应用拉格朗日中值定理，由第一问知 $f (a) = 0$ ，存在 $η \in (a, ξ)$ 使 $f^{'} (η) = \frac{f ( ξ )}{ξ - a}$ 。于是 $η \neq = ξ$ 。

由 p2 的未约分等式， $(b^{2} - a^{2}) f (ξ) = 2 ξ \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。因此

f^{'} (η) (b^{2} - a^{2}) = \frac{( b ^{2} - a ^{2} ) f ( ξ )}{ξ - a} = \frac{2 ξ}{ξ - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .