1995 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

设

y = e^{x}

是微分方程

x y^{'} + p (x) y = x

的一个解，求此微分方程满足条件

y ∣_{x = l n 2} = 0

的特解。

答案

$y = e^{x} - e^{x + e^{- x} - \frac{1}{2}} (x > 0)$

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将已知解 $y = e^{x}$ 代入原方程，得 $x e^{x} + p (x) e^{x} = x$ ，因此 $p (x) = x e^{- x} - x$ 。在包含 $ln 2$ 的区间 $x > 0$ 上，方程化为

y^{'} + (e^{- x} - 1) y = 1.

已知一个特解为 $e^{x}$ ，对应齐次方程的解为 $C e^{x + e^{- x}}$ ，故 $y = e^{x} + C e^{x + e^{- x}}$ 。

由 $y (ln 2) = 0$ 得 $C = - e^{- \frac{1}{2}}$ ，所以

y = e^{x} - e^{x + e^{- x} - \frac{1}{2}} .